Crecimiento y decrecimiento exponencial
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Supongamos que un determinado fondo de inversión tiene una rentabilidad anual del \(10\)%. Si invertimos 100$ al cabo de 1 año, seguiremos teniendo los 100$ originales y ganaremos un 10 % de 100$.
Por supuesto, en \(3\) años a \(10\)%, la inversión original \(P\) habrá crecido a \(1,1^3 P\text{,}) Aquí vemos que se desarrolla un nuevo tipo de patrón: el crecimiento anual de \(10\)% está llevando a potencias de la base \(1,1\text{,}) donde la potencia a la que elevamos \(1,1\) corresponde al número de años que ha crecido la inversión. A menudo llamamos a este fenómeno crecimiento exponencial.
En la Actividad Preliminar 3.1.1, nos encontramos con las funciones \N(I(t)\Ny \N(V(t)\Nque tenían la misma estructura básica. Cada una de ellas puede escribirse de la forma \(g(t) = ab^t) donde \(a\) y \(b\) son constantes positivas y \(b \ne 1\text{.}) Basándonos en nuestro trabajo anterior con las transformaciones, sabemos que la constante \(a\) es un factor de escala vertical, y por tanto el comportamiento principal de la función proviene de \(b^t\text{.}) que llamamos “función exponencial”.
Fórmula de crecimiento y decrecimiento exponencial
El crecimiento y el decaimiento exponenciales se aplican a las cantidades físicas que cambian de valor o de forma de manera rápida. El cambio puede medirse utilizando el concepto de crecimiento exponencial y decaimiento exponencial, y la nueva cantidad obtenida puede obtenerse a partir de la cantidad existente. Las fórmulas de crecimiento y decaimiento exponencial son f(x) = a(1 + r)t, y f(x) = a(1 – r)t respectivamente.
El crecimiento exponencial y el decaimiento se aplican a cantidades que cambian rápidamente. El crecimiento y el decaimiento exponenciales se han derivado del concepto de progresión geométrica. Las cantidades que no cambian de forma constante, sino que lo hacen de forma exponencial, pueden denominarse crecimiento exponencial o decaimiento exponencial.
La representación más sencilla del crecimiento y la decadencia exponenciales es la fórmula abx, en la que “a” es la cantidad inicial, “b” es el factor de crecimiento, que es similar a la razón común de la progresión geométrica, y “x” en los pasos de tiempo para multiplicar el factor de crecimiento. Para el crecimiento exponencial, el valor de b es mayor que 1 (b > 1), y para el decaimiento exponencial, el valor de b es menor que 1 (b < 1).
Fórmulas de crecimiento y decrecimiento exponencial
Cuando a = 0 o b = 0 la función se simplifica a y = f(x) = 0 , o una función constante trivial cuya salida es 0 para cada entrada. Cuando b = 1 la función se simplifica a y = f(x) = a1x = a1 = a , o una función constante cuya salida es a para cada entrada.
Dado que muchas expresiones con bases negativas -como (-1)1/2 o (-5,3)7/4- no tienen sentido algebraico (no definen ningún número real), y dado que una base 0 conduce a una función constante trivial, solemos añadir la siguiente restricción a las funciones exponenciales:
Como sólo trabajamos con bases positivas, bx es siempre positivo. Los valores de f(x) , por tanto, son siempre positivos o siempre negativos, dependiendo del signo de a . Las funciones exponenciales viven enteramente en un lado u otro del eje x. Decimos que tienen un rango limitado.
Es decir, el aumento de cualquier entrada x en un intervalo constante Dx cambia la salida en un múltiplo constante bDx . Esta es la propiedad de las funciones exponenciales más fácil de reconocer en situaciones de modelización.
Fórmula de crecimiento exponencial
En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En la modelización matemática, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelizará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso del crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:
donde [latex]{A}_{0}[/latex] es igual al valor en el momento cero, e es la constante de Euler, y k es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en aplicaciones que implican el tiempo de duplicación, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como las poblaciones de animales salvajes, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden presentar un crecimiento basado en el tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta a los datos mejor que el modelo exponencial.
Por otro lado, si una cantidad está cayendo rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial. De nuevo, tenemos la forma [latex]y={A}_{0}{e}^{-kt}[/latex] donde [latex]{A}_{0}[/latex] es el valor inicial, y e es la constante de Euler. Ahora k es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la vida media, o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la vida media en aplicaciones que implican isótopos radiactivos.